Информация Адаптивная настройка регуляторов
Адаптивная настройка регуляторов
Введение
На современном этапе автоматизации технологических процессов в промышленности теория и практика достигла уровня, когда для создания промышленных систем автоматического регулирования (АСУТП) не требуется ни математическое описание, ни синтез оптимальных алгоритмов стабилизации, а создание АСУТП является почти рутинной процедурой. Но такая универсальность и стандартизация не исключает и не может исключить уникальность конкретных технологических объектов управления. Эта уникальность лишь перевоплотилась в проблему экспериментального определения характеристик конкретных объектов, т. е. в проблему экспериментальной настройки регуляторов. Существующие методы настройки регуляторов, по сути, не изменились и предполагают специально организуемое искусственное возбуждение объекта регулирования. Необходимость искусственных воздействий на объект обусловлена наличием контура обратной связи системы регулирования, что затрудняет экспериментальное определение характеристик объекта в условиях нормальной эксплуатации, а разрывать этот контур достаточно длительно или часто чревато заметным ущербом в качестве регулирования. По этой причине настройка промышленных регуляторов часто производится вручную, без применения специально созданных программно-технических средств настройки. Таким образом, в проблеме автоматизации настройки промышленных регуляторов возникает порочный круг в виде принципиальной трудности экспериментального определения параметров объекта в режиме нормальной эксплуатации в контуре с обратной связью. В данной работе показано, что этот порочный круг можно разорвать путем идентификации не отдельно объекта, а всего контура регулирования, как единого целого, и аналитически найти оптимальные настройки регулятора по результатам такой идентификации. Для этого потребовалась лишь одна догадка.
1. Постановка задачи настройки регулятора
Рассмотрим односвязные объекты регулирования (с одним регулируемым и одним регулирующим переменными) и определим класс и множество таких объектов по признаку удовлетворительного регулирования их данным типом стандартного промышленного регулятора. Под удовлетворительным регулированием понимается качественное понятие приемлемой точности стабилизации при оптимально настроенном регуляторе данного типа (например, ПИ или ПИД-регулятор). Среди линейных моделей односвязных объектов определяющим признаком класса является число координат состояния, учитываемых регулятором: интегральная, пропорциональная, дифференциальная и т. д.. Как известно, регулятор заданного n-го порядка может быть настроен строго оптимально для линейного объекта этого же порядка с входным возмущением типа белого шума [1]. Поэтому естественно назвать такой линейный объект идеалом данного класса порядка n. Не оптимально, но удовлетворительно регулироваться регулятором данного класса могут объекты и более низкого или высокого порядка. Кроме того, многие объекты с автокоррелированным возмущением или чистым (транспортным) запаздыванием в канале управления так же удовлетворительно регулируются стандартными линейными регуляторами. Но такие объекты всегда можно привести к линейной модели в пространстве состояния более высокого (в пределе бесконечного) порядка. Действительно, если для объекта с автокоррелированным возмущением смоделировать это возмущение из белого шума с соответствующим формирующим фильтром и добавить этот фильтр в модель объекта, то получим объект более высокого порядка с белым шумом на входе. Аналогично, если аппроксимировать чистое запаздывание в виде цепочки инерционных звеньев первого порядка, то также получим объект более высокого порядка с белым шумом. Вся совокупность указанных объектов и составляет множество объектов данного класса с центром в виде идеала этого класса. Вспомним известный практический факт: подавляющее большинство промышленных односвязных объектов удовлетворительно регулируются ПИ или ПИД-регуляторами, т. е. относятся к классу 2-го или 3-го порядка.Вывод алгоритма настройки регулятора класса n проведем для идеального объекта данного класса. Для унификации удобно записать модель такого объекта в пространстве состояний в векторной форме и в дискретном времени. Такая модель имеет следующий общий вид:
(1)…..X(t)=A*X(t-1)+B*U(t)+h(t).
Здесь X, h – n-мерные векторы состояния и дискретного белого шума, U – скалярное управление, A, B – n*n и n*1 – мерные матричные коэффициенты. Например, для ПИД-регулятора (n=3) первая компонента X1 вектора X – есть интегральная составляющая отклонения регулируемой величины, вторая компонента X2 – само отклонение, третья компонента X3 – первая производная отклонения.Далее, оптимальный закон регулирования по минимуму среднеквадратичной ошибки, т. е. по минимуму квадратичной формы X(t)t*Q*X(t), где Q – n*n-мерная не отрицательно определенная весовая матрица, имеет известный вид [1]:
(2)…..U(t)=-Rt*A*X(t-1),где R=Q*B*(Bt*B)-1
- n-мерный векторный коэффициент передачи регулятора, t – символ транспонирования.
2. Алгоритм настройки регулятора
Для целей настройки регулятора запишем закон регулирования в виде линейной комбинации настроечных констант – вектор-строки K и вектора состояния X(t-1):(3)…..U(t)=-K*X(t-1).При этом из сравнения выражений (2) и (3) находим, что результатом настройки регулятора должен быть оптимальный вектор констант Kopt:
(4)…..Kopt=RtA.
Из уравнений (1), (3) исключим управление и получим уравнение замкнутого контура регулирования:
(5)…..X(t)=(A-B*K)*X(t-1)+h(t).
Здесь фигурирует единственная матрица коэффициентов контура регулирования (A-B*K). Эта матрица констант может быть найдена идентификацией полученного уравнения контура. Как видно из этого уравнения и известно из теории, в замкнутом контуре невозможно идентифицировать раздельно константы объекта A,B и регулятора K. Но для односвязного объекта n-го порядка матрица (A-B*K) содержат только n неизвестных констант. Поэтому для цели идентификации можно свернуть систему из n уравнений (5) в одно уравнение. Удобнее всего для этого умножить векторное уравнение (5) слева на вектор-строку Rt. С учетом (4) получим:
(6)…..Rt*X(t)=(Kopt-K)*X(t-1)+Rt*h(t).
Здесь учтено непосредственно проверяемое тождество Rt*B=1. Обозначим вектор-строку Kopt-K через ∆K. Эту вектор-строку коэффициентов можно найти идентификацией полученного уравнения (6). После этого оптимальную настройку регулятора Kopt можно найти по определению матрицы ∆K:
(7)…..Kopt=K+∆K.
Единственное, что здесь следовало догадаться – это установить в регуляторе некоторые начальные значения констант K и не изменять их до окончания идентификации.
Идентификацию уравнения (6) проще всего произвести по методу наименьших квадратов (МНК) [2] по формуле:
(8)…… ∆K=b*P-1,
где b=∑Rt*X(t)*X(t-1)t, P=∑X(t-1)*X(t-1)t - расчетные вектор-строка и матрица, вычисляемые суммированием по измеряемым координатам состояния за период идентификации от t=1 до t=T.
Итак, получен следующий алгоритм настройки регулятора. До настройки устанавливается начальное значение вектора констант регулятора K. Затем производится идентификация контура регулирования и по ее результатам (вектор ∆K) определяется и устанавливается окончательное значение Kopt, которое оказывается оптимальным по выбранному критерию качества регулирования. Заметим, что полученный алгоритм предназначен для стационарного объекта регулирования, когда достаточно однократной процедуры идентификации. Но в промышленной практике более жизненна ситуация с непредсказуемой нестационарностью объекта регулирования, например, изменение конструктивных характеристик промышленных объектов (старение, замена или ремонт), изменение вероятностных параметров возмущений, существенное изменение технологического регламента производственных процессов и другие. В этой ситуации целесообразна непрерывная настройка регулятора, т. е. адаптация контура регулирования. Такой алгоритм адаптации получается просто: идентификация контура регулирования по уравнению (6) производится регулярно и после каждого цикла идентификации производится корректировка констант регулятора по рекуррентной формуле, естественно получающейся из (7):
(9)…..Kq=Kq-1+∆Kq,
где K0 - начальная настройка регулятора при q=1, q - номер цикла идентификации.
При этом идентификацию контура регулирования целесообразно производить также рекуррентным способом [2]. Таким образом, структура адаптивной системы регулирования со стандартным регулятором включает в себя внешний контур обратной связи в виде последовательного соединения блока идентификации (8) и блока суммирования (дискретного интегрирования) (9).
По алгоритму адаптации можно сделать следующие замечания.
1. В алгоритме настройки математическая модель конкретного объекта не используется и знать ее нет необходимости. Единственная необходимая априорная информация – это знание типа стандартного регулятора, который подходит для данного объекта.
2. В условиях постоянства констант объекта (стационарное поведение объекта регулирования) идентифицируемый вектор констант ∆K→0. При этом может возникнуть риск неустойчивости контура регулирования, описываемого уравнением (5). Это объясняется тем, что в области ∆K≈0, за счет естественной ошибки идентификации могут получаться разные знаки компонент вектора ∆K и могут нарушаться алгебраические условия устойчивости. Для исключения такой опасности в предлагаемой адаптивной системе можно ввести ограничитель компонент вектора ∆K по критерию устойчивости Гурвица, введя этот ограничитель между идентификатором и сумматором.
3. На практике промышленные системы регулирования часто настраивают не по минимуму средней квадратичной ошибки, а по критерию запаса устойчивости или подобным критериям, так как в условиях существенной нестационарности устойчивость важнее точности. Обозначим вектор констант регулятора, оптимальный в смысле максимума запаса устойчивости, через Kstab. Как известно, эта величина выражается через параметры объекта (см., например, [3] ) и ее можно считать известной функцией Kopt, т. е. Kstab=f(Kopt). Отсюда следует, что для перехода к настройке по критерию максимума запаса устойчивости уравнение сумматора (9) можно переписать в терминах Kstab следующим образом: f-1(Kstabq)=f-1(Kstabq-1)+∆Kq, где f-1 - обратная функция. При этом уравнение сумматора относительно выходной переменной Kstab преобразуется к виду:
(10)….. Kstabq=f(f-1(Kstabq-1)+∆Kq).
Аналогично можно принять любой из критериев, употребляемых в практике настройки регуляторов, выбрав для этого соответствующий вид функции .
4. Из практики известно, что ПИ-регуляторы вручную настраиваются легче ПИД-регуляторов и поэтому они, зачастую, обеспечивают лучшее качество регулирования в среднем. Но это преимущество нивелируется в случае автоматической настройки регулятора. Поэтому представляется целесообразным в системе, оснащенной контуром адаптации, преимущественно применять стандартные ПИД-регуляторы.
3. Экспериментальная проверка процедуры настройки регулятора
Помимо логического обоснования предлагаемой процедуры настройки, были количественно смоделированы примеры настройки для объектов, регулируемых ПИД-регулятором и существенно отличающихся от идеала класса 3-го порядка. В частности, вводилось запаздывание в канале регулирующего воздействия. При этом, чтобы оставаться в рамках линейной модели в пространстве состояний, запаздывание моделировалось в виде цепочки из трех инерционных звеньев первого порядка с единичным коэффициентом передачи и варьируемой постоянной времени Tз. Кроме того, генерировалось автокоррелированное случайное возмущение, в формирующем фильтре которого варьировалась постоянная времени Tв в диапазоне характеристик от белого шума (Tв=0) до самого «тяжёлого» винеровского случайного процесса (Tв→∞). Тем самым проверялись периферийные экземпляры множества систем с ПИД-регуляторами. Оказалось, что при относительно малом коэффициенте передачи объекта (a2≤0.3) данный класс объектов (3-го порядка) простирается до Tв =100 и Tз=5. При большем коэффициенте передачи объекта a2 системы с таким запаздыванием и с ПИД-регулятором становятся структурно неустойчивыми и, значит, не относятся к данному классу объектов. Это подтверждает тезис о том, что большинство промышленных односвязных объектов, удовлетворительно регулируются ПИ и ПИД регуляторами, причём такие регуляторы успешно настраиваются предложенным способом.
Фитерман М.Я.
